Laplacian matrix

• D는 degree matrix로 노드들의 edge가 대각선 성분으로 표시되어있다.
• A는 인접행렬이다
• L은 대각성분에는 노드의 차수를 다른 곳들에서는 연결되어있으면 -1 로 표시된다.

• 위에 그림은 ID를 가지고있는 노드를 바탕으로 순서를 고려한 예제이다.

Laplacian Operator

Laplacian Operator는 벡터의 발산정도를 의미하며 벡터장이 얼마나 균일한지 알아 볼수있는 방법이다 -> 변화와 관련된 연사자이다 그래프에서 이러한 변화를 알수있는 연산자 역할을 하는것이 라플라시안 행렬이다.

• x는 노드들의 feature or 시그널이다.
• 노드 u에서 이웃노드 v 차이를 계산할 수 있다.
• x를 행렬에 두번 곱해주어 부호때문에 생기는 상쇄효과를 막아준다.

## Property —

1. Positive semi-definite 행렬이므로 non-negative eigenvalue를 가진다.

1. real symmetric 행렬이므로 eigenvector들은 직교기저벡터를 이룬다.

1. Normalized graph Laplacian 다음과 같이 정의된다. Normalized graph Laplacian 의 특징은 eigenvalue 들이 [0,2] 구간에 속한다.

Reference: https://tootouch.github.io/research/spectral_gcn/ https://ralasun.github.io/deep%20learning/2021/02/15/gcn/ https://ahjeong.tistory.com/15 https://harryjo97.github.io/page3/ https://process-mining.tistory.com/157